电偶极辐射中电偶极矩矩阵元的推导

根据曾谨言《量子力学·上册》pp567，需要计算：

`|W_{k'k}|^2`, `W=-bb(D)*bb(E)_0`, `bb(D)=-e bb(r)` (电偶极矩)

`W=-bb(D)*bb(E)_0 = e bb(r)*bb(E)_0`

`bb(r)*bb(E)_0 = x E_x^0 + y E_y^0 + z E_z^0 = r E_0 cos (\angle(bb(r), bb(E)_0))`

`\angle(bb(r), bb(E)_0)`表示的是`bb(r)`与`bb(E)_0`之间的夹角。

`W_{k'k} = (:k'|x E_x^0 + y E_y^0 + z E_z^0|k:) = (:k'|x|k:)E_x^0 + (:k'|y|k:)E_y^0 + (:k'|z|k:)E_z^0`
即：`W_{k'k} = (:k'|bb(r)|k:)*bb(E)_0 = |(:k'|bb(r)|k:)|bb(E)_0 cos Theta`

这里`Theta`表示的是`(:k'|bb(r)|k:)`与`bb(E)_0`之间的夹角。由于`(:k'|bb(r)|k:)`矢量的方向是确定的，而自然光的`bb(E)_0`则可取空间任意方向。因此`|cos Theta|^2`对空间所有方向求平均的结果是`1/3`。

现在`|W_{k'k}|^2 = \frac{e^2 E_0^2}{3} |(:k'|bb(r)|k:)|^2`

`(:k'|bb(r)|k:)`可能有实部，也可能有虚部。即：`|(:k'|bb(r)|k:)|^2 = text{Re} bb(r)_{k'k}^2 + text{Im} bb(r)_{k'k}^2`

`text{Re} bb(r)_{k'k}^2 = text{Re} (x_{k'k}^2 + y_{k'k}^2 + z_{k'k}^2)`, `text{Im} bb(r)_{k'k}^2 = text{Im} (x_{k'k}^2 + y_{k'k}^2 + z_{k'k}^2)`

`|(:k'|bb(r)|k:)|^2 = |(:k'|x|k:)|^2 + |(:k'|y|k:)|^2 + |(:k'|z|k:)|^2`, 即在`|(:k'|bb(r)|k:)|^2`中的取模运算兼有复数取模和向量取模两重含义。

参考
D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, pp353 脚注