量子泡沫也叫时空泡沫（spacetime foam），是惠勒（John Wheeler*）1955年根据量子力学提出的概念。量子泡沫是极小尺度（普朗克长度量级）下量子振荡的定性描述。在这么小的时空尺度下，不确定关系使粒子和能量瞬间产生，然后湮灭。随着我们讨论时空尺度的缩小，虚粒子能量将增加。根据爱因斯坦的广义相对论，能量将使时空弯曲，这意味着足够小尺度下能量的“泡沫”式涨落将大到足以在较大尺度下观测到相对平滑时空的显著偏离。但我们必须有一个量子引力理论才能指出在什么样的尺寸下才能出现这样的量子泡沫，现有的各种量子理论不能精确地描述这么小尺度下的物理。
量子泡沫被认为是由非常高能量的虚粒子产生的。虚粒子概念出现于量子场论中，当粒子发生相互作用时，虚粒子短暂地产生并湮灭；尽管虚粒子从未被实际观测到，但根据虚粒子概念预言的效应被实际观测到了。虚粒子可被认为在真空中短暂地产生并湮灭，这种真空涨落会影响真空的性质，导致非零能量即真空能的存在；按量子力学概念，这是一种零点能。
卡西米尔效应是两平行板间真空中虚粒子行为的体现。普通的量子场论并不处理能量大到足以使时空弯曲的虚粒子，所以量子泡沫是对量子力学基本概念在非常小时空尺度下具有极高能量虚粒子的推广。
泡沫状的时空就像大风暴掀起的复杂激流。一些物理学家认为其中会形成虫洞；并猜测我们的宇宙可能会通过虫洞连接到其它的宇宙。
* John Archibald Wheeler with Kenneth Ford. Geons, Black Holes, and Quantum Foam. 1995 ISBN 0-393-04642-7.
2008年3月10日星期一
角动量和自旋
经典角动量是这样定义的：`L = r times p`，如果我们把r, p看作是算符`hat r`，`hat p`，我们就得到了量子力学中角动量算符的定义：`hat L = hat r times hat p`。
我们可以计算`hat L`各分量`hat L_x`, `hat L_y`, `hat L_z`间的对易关系，并得到如下性质：
`[hat L_x, hat L_y] = i hbar hat L_z`, `[hat L_y, hat L_z] = i hbar hat L_x`, `[hat L_z, hat L_x] = i hbar hat L_y`
`[hat L_x, hat L^2] = [hat L_y, hat L^2] = [hat L_z, hat L^2] = 0`
根据不确定关系（测不准原理），我们无法同时精确获得`L_x`, `L_y`的测量值，但我们可同时获得`L_z`和`L^2`的测量值。因此我们预期可求解出以下方程：
`hat L^2 |lambda, mu:) = lambda |lambda, mu:)`
`hat L_z |lambda, mu:) = mu |lambda, mu:)`
对这种形式方程的求解在数学上叫做本征值问题，可以通过求解偏微分方程得出，其结果是：
`hat L^2 |l, m:) = l(l+1)hbar^2 |l, m:)`
`hat L_z |l, m:) = m hbar |l, m:)`
这里：`m=0, pm 1, pm 2, ... pm l`, `l = 0, 1, 2, ...`。即角动量量子数`l`只能取整数。
我们还可以通过角动量算符的对易关系求解这个本征值问题，形式上得出相同的结果，但我们发现这样计算出的结果对`l`的要求可以是半奇数，即：`1/2, 3/2, ...`。
角动量量子数为整数的情形，我们可以用经典角动量的图像来理解，如行星围绕太阳运动，行星具有轨道角动量。但对于角动量量子数为半奇数情形，我们无法还原为经典角动量的图像。但我们发现有一种新的物理现象，必须使用角动量量子数为`1/2`的理论来解释，这就是自旋。
斯特恩-盖拉赫实验
通常我们是通过斯特恩-盖拉赫实验来引入自旋概念的。斯特恩-盖拉赫实验使用的是银原子（Ag），银原子的电子结构是：2, 8, 18, 18, 1（[Kr] 4d10 5s1）。最外层是5s1，即一个5s电子，除去最外层电子外，其他为满壳层。相比较于电子的磁矩，原子的磁矩可以忽略不计。
因此只需考虑电子运动导致的磁矩，而除最外层5s电子外，其他电子轨道角动量、自旋角动量恰好完全抵消。又s电子轨道角动量为零，因此银原子磁矩近似而言主要是由5s电子的自旋导致。
斯特恩和盖拉赫使一束银原子通过非均匀的磁场，发现银原子分裂为两束。磁矩在非均匀磁场中的受力：
`F_z = \mu_z \frac{dB_z}{dz}`
说明磁矩有两种取值，当时人们并没有自旋的概念，根据轨道角动量的理论，轨道角动量（L）的取值只能是整数，如：0，1，2...，`L_z`的取值则有2L+1种可能性，即由-L, -L+1, ..., L-1, L。因此轨道角动量概念只能解释奇数条条纹分裂，而无法解释偶数条条纹分裂。解决方案是引入电子自旋(s)，自旋取值为1/2，`s_z`取值为- 1/2，1/2。
自旋是一个无经典对应的物理量，通常人们会把自旋理解为电子自身的转动，但这种图像是不成立的，理由可归纳如下：
1.迄今为止的实验，未发现电子有尺寸的下限，即电子是没有大小的；
2.如果把电子自旋考虑为刚体绕自身的转动的话，即假设自旋是某种经典的对应，我们解出的角动量量子数只能是整数，因此无法解释偶数条条纹；
3.如果把电子自旋设想为有限大小均匀分布电荷球围绕自身的转动的话，电荷球表面切线速度将超过光速，与相对论矛盾；
因此自旋导致的物理现象是纯粹的量子力学效应，讨论自旋可以最“干净”地引入量子概念，因为自旋无经典对应，我们也就不会受到经典图像的干扰。
连续的斯特恩-盖拉赫实验
由于非均匀磁场可将不同自旋取值的银原子束分开，因此斯特恩-盖拉赫实验装置可看作是自旋的过滤器，比如沿z方向的非均匀磁场可将`s_z= 1/2`和`s_z=-1/2`的自旋分开，同样沿x方向的非均匀磁场可将`s_x=1/2`和`s_x=-1/2`的自旋分开等等。
上图表示将`s_z=1/2`的自旋束过滤出来，如果连续通过两个这样的装置，仍有`s_z=1/2`的自旋束射出。
先过滤出`s_z=1/2`的自旋束，再试图过滤出`s_z=-1/2`的自旋束，最终无自旋束射出。
`s_z=1/2`的自旋束通过x方向非均匀磁场可将`s_x=1/2`的自旋束选择出来。
`s_z=1/2`的自旋束通过x方向非均匀磁场将`s_x=1/2`的自旋束选择出来，再通过z方向非均匀磁场，可将`s_z=-1/2`的自旋束选择出来。
连续的斯特恩-盖拉赫实验说明，`s_z`取值和`s_x`取值无法同时确定，而在经典力学中我们总可以同时确定`L_z`和`L_x`的取值，或x与p的取值。这正是量子力学区别于经典力学的本质特征，或者体现为海森堡不确定关系，或者体现为狄拉克的非对易代数。
与偏振现象的类比
我们无法通过同时指定`s_z`，`s_x`的取值来描述自旋的态，但我们可类比光学中的偏振现象来达到对自旋态的描述。
在光学中有x偏振光，y偏振光，x，y是相互垂直的偏振方向。如果我们把x方向逆时针转动45度，则得到x'偏振光，再继续转动90度，则得到y'偏振光。
这里x偏振光类比为`s_z=1/2`的自旋态，y偏振光类比为`s_z=-1/2`的自选态；x'偏振光类比为`s_x=1/2`的自旋态，y'偏振光类比为`s_x=-1/2`的自旋态。
沿z方向传播的x，y偏振光；
`E=E_0 \hat x e^{kz-\omega t}`
`E=E_0 \hat y e^{kz-\omega t}`
沿z方向传播的x'，y'偏振光；
`E=E_0 \hat x^' e^{kz-\omega t}=\frac{E_0 }{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(\hat x + \hat y))`
`E=E_0 \hat y^' e^{kz-\omega t}=\frac{E_0 }{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(-\hat x + \hat y))`
因此自旋态可表示为：
`| s_z=1/2 \rangle = | + \rangle`
`| s_z=-1/2 \rangle = | - \rangle`
`| s_x=1/2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(| + :) + | - :) )`
`| s_x=-1/2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(-| + :) + | - :) )`
由于非均匀磁场还可加在空间的y方向上，所以尚需求出`|s_y=1/2 \rangle`和`|s_y=-1/2 \rangle`的表达式。可通过与圆偏振光类比得到。
右旋圆偏振光：`E= \frac{E_0}{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(\hat x + i \hat y)`
左旋圆偏振光：`E= \frac{E_0}{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(\hat x - i \hat y)`
因此可将`|s_y = \pm 1/2 \rangle`表示为：
`|s_y = \pm 1/2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+:) \pm i | - :) )`
此即s=1/2，在sz表象中各自旋态的表达。即表示为2维复线性向量空间(complex vector space)中的一个矢量。
我们可以计算`hat L`各分量`hat L_x`, `hat L_y`, `hat L_z`间的对易关系，并得到如下性质：
`[hat L_x, hat L_y] = i hbar hat L_z`, `[hat L_y, hat L_z] = i hbar hat L_x`, `[hat L_z, hat L_x] = i hbar hat L_y`
`[hat L_x, hat L^2] = [hat L_y, hat L^2] = [hat L_z, hat L^2] = 0`
根据不确定关系（测不准原理），我们无法同时精确获得`L_x`, `L_y`的测量值，但我们可同时获得`L_z`和`L^2`的测量值。因此我们预期可求解出以下方程：
`hat L^2 |lambda, mu:) = lambda |lambda, mu:)`
`hat L_z |lambda, mu:) = mu |lambda, mu:)`
对这种形式方程的求解在数学上叫做本征值问题，可以通过求解偏微分方程得出，其结果是：
`hat L^2 |l, m:) = l(l+1)hbar^2 |l, m:)`
`hat L_z |l, m:) = m hbar |l, m:)`
这里：`m=0, pm 1, pm 2, ... pm l`, `l = 0, 1, 2, ...`。即角动量量子数`l`只能取整数。
我们还可以通过角动量算符的对易关系求解这个本征值问题，形式上得出相同的结果，但我们发现这样计算出的结果对`l`的要求可以是半奇数，即：`1/2, 3/2, ...`。
角动量量子数为整数的情形，我们可以用经典角动量的图像来理解，如行星围绕太阳运动，行星具有轨道角动量。但对于角动量量子数为半奇数情形，我们无法还原为经典角动量的图像。但我们发现有一种新的物理现象，必须使用角动量量子数为`1/2`的理论来解释，这就是自旋。
斯特恩-盖拉赫实验
通常我们是通过斯特恩-盖拉赫实验来引入自旋概念的。斯特恩-盖拉赫实验使用的是银原子（Ag），银原子的电子结构是：2, 8, 18, 18, 1（[Kr] 4d10 5s1）。最外层是5s1，即一个5s电子，除去最外层电子外，其他为满壳层。相比较于电子的磁矩，原子的磁矩可以忽略不计。
因此只需考虑电子运动导致的磁矩，而除最外层5s电子外，其他电子轨道角动量、自旋角动量恰好完全抵消。又s电子轨道角动量为零，因此银原子磁矩近似而言主要是由5s电子的自旋导致。
斯特恩和盖拉赫使一束银原子通过非均匀的磁场，发现银原子分裂为两束。磁矩在非均匀磁场中的受力：
`F_z = \mu_z \frac{dB_z}{dz}`
说明磁矩有两种取值，当时人们并没有自旋的概念，根据轨道角动量的理论，轨道角动量（L）的取值只能是整数，如：0，1，2...，`L_z`的取值则有2L+1种可能性，即由-L, -L+1, ..., L-1, L。因此轨道角动量概念只能解释奇数条条纹分裂，而无法解释偶数条条纹分裂。解决方案是引入电子自旋(s)，自旋取值为1/2，`s_z`取值为- 1/2，1/2。
自旋是一个无经典对应的物理量，通常人们会把自旋理解为电子自身的转动，但这种图像是不成立的，理由可归纳如下：
1.迄今为止的实验，未发现电子有尺寸的下限，即电子是没有大小的；
2.如果把电子自旋考虑为刚体绕自身的转动的话，即假设自旋是某种经典的对应，我们解出的角动量量子数只能是整数，因此无法解释偶数条条纹；
3.如果把电子自旋设想为有限大小均匀分布电荷球围绕自身的转动的话，电荷球表面切线速度将超过光速，与相对论矛盾；
因此自旋导致的物理现象是纯粹的量子力学效应，讨论自旋可以最“干净”地引入量子概念，因为自旋无经典对应，我们也就不会受到经典图像的干扰。
连续的斯特恩-盖拉赫实验
由于非均匀磁场可将不同自旋取值的银原子束分开，因此斯特恩-盖拉赫实验装置可看作是自旋的过滤器，比如沿z方向的非均匀磁场可将`s_z= 1/2`和`s_z=-1/2`的自旋分开，同样沿x方向的非均匀磁场可将`s_x=1/2`和`s_x=-1/2`的自旋分开等等。
上图表示将`s_z=1/2`的自旋束过滤出来，如果连续通过两个这样的装置，仍有`s_z=1/2`的自旋束射出。
先过滤出`s_z=1/2`的自旋束，再试图过滤出`s_z=-1/2`的自旋束，最终无自旋束射出。
`s_z=1/2`的自旋束通过x方向非均匀磁场可将`s_x=1/2`的自旋束选择出来。
`s_z=1/2`的自旋束通过x方向非均匀磁场将`s_x=1/2`的自旋束选择出来，再通过z方向非均匀磁场，可将`s_z=-1/2`的自旋束选择出来。
连续的斯特恩-盖拉赫实验说明，`s_z`取值和`s_x`取值无法同时确定，而在经典力学中我们总可以同时确定`L_z`和`L_x`的取值，或x与p的取值。这正是量子力学区别于经典力学的本质特征，或者体现为海森堡不确定关系，或者体现为狄拉克的非对易代数。
与偏振现象的类比
我们无法通过同时指定`s_z`，`s_x`的取值来描述自旋的态，但我们可类比光学中的偏振现象来达到对自旋态的描述。
在光学中有x偏振光，y偏振光，x，y是相互垂直的偏振方向。如果我们把x方向逆时针转动45度，则得到x'偏振光，再继续转动90度，则得到y'偏振光。
这里x偏振光类比为`s_z=1/2`的自旋态，y偏振光类比为`s_z=-1/2`的自选态；x'偏振光类比为`s_x=1/2`的自旋态，y'偏振光类比为`s_x=-1/2`的自旋态。
沿z方向传播的x，y偏振光；
`E=E_0 \hat x e^{kz-\omega t}`
`E=E_0 \hat y e^{kz-\omega t}`
沿z方向传播的x'，y'偏振光；
`E=E_0 \hat x^' e^{kz-\omega t}=\frac{E_0 }{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(\hat x + \hat y))`
`E=E_0 \hat y^' e^{kz-\omega t}=\frac{E_0 }{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(-\hat x + \hat y))`
因此自旋态可表示为：
`| s_z=1/2 \rangle = | + \rangle`
`| s_z=-1/2 \rangle = | - \rangle`
`| s_x=1/2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(| + :) + | - :) )`
`| s_x=-1/2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(-| + :) + | - :) )`
由于非均匀磁场还可加在空间的y方向上，所以尚需求出`|s_y=1/2 \rangle`和`|s_y=-1/2 \rangle`的表达式。可通过与圆偏振光类比得到。
右旋圆偏振光：`E= \frac{E_0}{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(\hat x + i \hat y)`
左旋圆偏振光：`E= \frac{E_0}{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(\hat x - i \hat y)`
因此可将`|s_y = \pm 1/2 \rangle`表示为：
`|s_y = \pm 1/2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+:) \pm i | - :) )`
此即s=1/2，在sz表象中各自旋态的表达。即表示为2维复线性向量空间(complex vector space)中的一个矢量。
薛定谔方程
根据量子力学，系统状态是由波函数描述的，假设我们知道某时刻系统的波函数`psi(t_0)`，我们希望知道系统是如何随时间演化的，即知道未来某时刻的波函数`psi(t)`。波函数随时间演化的规律是由薛定谔方程给出的：`i hbar frac{partial}{partial} psi = hat H psi`。（`hat H`叫哈密顿算符）
薛定谔方程可能是物理学中最重要的方程，其地位很类似于牛顿力学中的牛顿第二定律`F=ma`。它们都是描述随时间演化的动力学方程，不同之处在于牛顿第二定律中的加速度是对时间的二阶微商，因此需要知道初始时刻的位置`x_0`和速度`v_0`才可求解，而薛定谔方程中出现的是对时间的一阶微商，因此只需要知道`psi(t_0)`就可确定`psi(t)`。牛顿第二定律和薛定谔方程都是确定性的方程，一旦初始条件确定了，未来的演化是唯一确定的，所不同的是牛顿力学中求得是轨迹，而量子力学中求出的是波函数。轨迹代表了真实的物理运动，而波函数则是一个复函数并不对应任何实际物理量。
但我们又说波函数中已经包含了物理系统所有信息，因此我们关心的物理量（也称观测量或力学量）可通过特定的数学步骤由波函数导出，当然并非所有经典力学中可获得的信息在量子力学中也可获得。比如：我们在量子力学中无法同时获得一个粒子的位置和动量的取值，但在经典力学中我们是可以获得的。
考虑最简单的波函数--单色平面波--`psi = C e^{i(kx - omega t)}`。波函数在任意x的取值是复数，并不对应具体物理量，但其绝对值`rho(x) = psi^{text(*)} psi`表示粒子处在x位置的概率。因此我们虽然无法由`psi`预测x的具体取值，但可计算x的平均值（期望值）：`bar x = int psi^{text(*)} x psi dx = int x rho(x) dx`。
我们可以把这样的数学步骤推广为：`bar A = int psi^{text(*)} hat A psi dx`，这里`bar A`表示力学量A的期望值，`hat A`叫做算符。算符是某种抽象的数学操作，它可把一个波函数映射为另外一个波函数，即：`varphi = hat A psi`。
可见：`hat x = x`，但并非都这样简单。比如对动量p，我们知道单色平面波对应的动量是`p = hbar k`，只有一个确定的取值。如果：`hat p = frac{hbar}{i} frac{partial}{partial x}`，可以验证：`bar p = hbar k`。
现在我们已经能够写出：`hat x`和`hat p`，我们可计算它们的对易关系：`[hat x, hat p] = hat x hat p - hat p hat x= i hbar`，这是个简化的写法，补充完整的形式是：`[hat x, hat p] psi(x) = hat x hat p psi(x) - hat p hat x psi(x) = i hbar psi(x)`。由这个关系我们可以严格地推导出不确定关系，或测不准原理，即如果两个算符不对易--`[hat A, hat B] ne 0`，我们无法同时无限精确地测量力学量A和B，这种不可能是量子力学理论体系决定的，而非操作的不可能。
由`hat x`和`hat p`我们可写出哈密顿算符`hat H`。哈密顿算符是由经典力学中哈密顿量得出的，单粒子的哈密顿量可写为：`H(x, p) = T + V`，T表示动能，V是势能。多粒子哈密顿量可形式地推广为：`H(q,p) = T + V = Sigma_i p dotq - L`（L是经典力学中拉格朗日量，其定义为：`L = T-V`），这里的q表示广义坐标，可以是粒子的位置，也可以是刚体转动的角度等，p表示广义动量，可定义为：` p = frac{partial L}{partial dotq}`。在经典力学中我们常常使用哈密顿量来描述一个物理系统，这种数学形式甚至可以推广为无穷多自由度（无穷多独立的广义坐标）的系统，比如用于描述电磁场。
我们只需把经典的`H(q,p)`中的q，p分别用算符`hat q`, `hat p`--满足`[hat x, hat p] = i hbar`--予以替代，同时保证`hat H(hat q, hat p)`满足厄密性--`int (hat H varphi)^{text(*)} psi dx = int varphi^{text(*)} hat H psi dx`。我们即得到系统的哈密顿算符，这样一个经典描述就变为对应的量子描述。
我们现在来求解最简单的薛定谔方程--`i hbar frac{partial}{partial t} psi(x,t) = frac{hat p^2}{2m} psi(x,t)`。对应哈密顿算符为--`hat H = frac{hat p^2}{2m}`，只有动能，没有势能，即自由粒子。解出：`E = hbar omega = frac{hbar^2 k^2}{2m}`，即能量是连续的，这与经典情形是一致的。
稍微复杂一点的问题--一维无限深势井。先考虑经典情形，相当于粒子在井内自由地运动，在井壁发生完全弹性碰撞，能量是连续的。如果考虑量子的情形：
1.波函数在井外出现概率为0，即井外波函数为0；
2.波函数在井壁处应当是连续的，即井壁处波函数亦为0；
3.波函数在井内，相当于是自由粒子的波函数，即：`E = frac{hbar^2 k^2}{2m} \approx frac{1}{lambda^2}`；
即能量与井内波函数对应的波长有关，而波长的取值由于必须满足条件2（井壁处波函数为0）而有所限制，即只能取为：`2L = n lambda`，这里L表示势井宽度。因此：`E \approx n^2`，即能量取值不再连续，而是分立的。
一个量子力学系统的能量分布可能是连续的（连续谱），也可能是分立的（分立谱），也可能是连续与分立混合的（混合谱）。
薛定谔方程可能是物理学中最重要的方程，其地位很类似于牛顿力学中的牛顿第二定律`F=ma`。它们都是描述随时间演化的动力学方程，不同之处在于牛顿第二定律中的加速度是对时间的二阶微商，因此需要知道初始时刻的位置`x_0`和速度`v_0`才可求解，而薛定谔方程中出现的是对时间的一阶微商，因此只需要知道`psi(t_0)`就可确定`psi(t)`。牛顿第二定律和薛定谔方程都是确定性的方程，一旦初始条件确定了，未来的演化是唯一确定的，所不同的是牛顿力学中求得是轨迹，而量子力学中求出的是波函数。轨迹代表了真实的物理运动，而波函数则是一个复函数并不对应任何实际物理量。
但我们又说波函数中已经包含了物理系统所有信息，因此我们关心的物理量（也称观测量或力学量）可通过特定的数学步骤由波函数导出，当然并非所有经典力学中可获得的信息在量子力学中也可获得。比如：我们在量子力学中无法同时获得一个粒子的位置和动量的取值，但在经典力学中我们是可以获得的。
考虑最简单的波函数--单色平面波--`psi = C e^{i(kx - omega t)}`。波函数在任意x的取值是复数，并不对应具体物理量，但其绝对值`rho(x) = psi^{text(*)} psi`表示粒子处在x位置的概率。因此我们虽然无法由`psi`预测x的具体取值，但可计算x的平均值（期望值）：`bar x = int psi^{text(*)} x psi dx = int x rho(x) dx`。
我们可以把这样的数学步骤推广为：`bar A = int psi^{text(*)} hat A psi dx`，这里`bar A`表示力学量A的期望值，`hat A`叫做算符。算符是某种抽象的数学操作，它可把一个波函数映射为另外一个波函数，即：`varphi = hat A psi`。
可见：`hat x = x`，但并非都这样简单。比如对动量p，我们知道单色平面波对应的动量是`p = hbar k`，只有一个确定的取值。如果：`hat p = frac{hbar}{i} frac{partial}{partial x}`，可以验证：`bar p = hbar k`。
现在我们已经能够写出：`hat x`和`hat p`，我们可计算它们的对易关系：`[hat x, hat p] = hat x hat p - hat p hat x= i hbar`，这是个简化的写法，补充完整的形式是：`[hat x, hat p] psi(x) = hat x hat p psi(x) - hat p hat x psi(x) = i hbar psi(x)`。由这个关系我们可以严格地推导出不确定关系，或测不准原理，即如果两个算符不对易--`[hat A, hat B] ne 0`，我们无法同时无限精确地测量力学量A和B，这种不可能是量子力学理论体系决定的，而非操作的不可能。
由`hat x`和`hat p`我们可写出哈密顿算符`hat H`。哈密顿算符是由经典力学中哈密顿量得出的，单粒子的哈密顿量可写为：`H(x, p) = T + V`，T表示动能，V是势能。多粒子哈密顿量可形式地推广为：`H(q,p) = T + V = Sigma_i p dotq - L`（L是经典力学中拉格朗日量，其定义为：`L = T-V`），这里的q表示广义坐标，可以是粒子的位置，也可以是刚体转动的角度等，p表示广义动量，可定义为：` p = frac{partial L}{partial dotq}`。在经典力学中我们常常使用哈密顿量来描述一个物理系统，这种数学形式甚至可以推广为无穷多自由度（无穷多独立的广义坐标）的系统，比如用于描述电磁场。
我们只需把经典的`H(q,p)`中的q，p分别用算符`hat q`, `hat p`--满足`[hat x, hat p] = i hbar`--予以替代，同时保证`hat H(hat q, hat p)`满足厄密性--`int (hat H varphi)^{text(*)} psi dx = int varphi^{text(*)} hat H psi dx`。我们即得到系统的哈密顿算符，这样一个经典描述就变为对应的量子描述。
我们现在来求解最简单的薛定谔方程--`i hbar frac{partial}{partial t} psi(x,t) = frac{hat p^2}{2m} psi(x,t)`。对应哈密顿算符为--`hat H = frac{hat p^2}{2m}`，只有动能，没有势能，即自由粒子。解出：`E = hbar omega = frac{hbar^2 k^2}{2m}`，即能量是连续的，这与经典情形是一致的。
稍微复杂一点的问题--一维无限深势井。先考虑经典情形，相当于粒子在井内自由地运动，在井壁发生完全弹性碰撞，能量是连续的。如果考虑量子的情形：
1.波函数在井外出现概率为0，即井外波函数为0；
2.波函数在井壁处应当是连续的，即井壁处波函数亦为0；
3.波函数在井内，相当于是自由粒子的波函数，即：`E = frac{hbar^2 k^2}{2m} \approx frac{1}{lambda^2}`；
即能量与井内波函数对应的波长有关，而波长的取值由于必须满足条件2（井壁处波函数为0）而有所限制，即只能取为：`2L = n lambda`，这里L表示势井宽度。因此：`E \approx n^2`，即能量取值不再连续，而是分立的。
一个量子力学系统的能量分布可能是连续的（连续谱），也可能是分立的（分立谱），也可能是连续与分立混合的（混合谱）。
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