薛定谔方程

根据量子力学，系统状态是由波函数描述的，假设我们知道某时刻系统的波函数`psi(t_0)`，我们希望知道系统是如何随时间演化的，即知道未来某时刻的波函数`psi(t)`。波函数随时间演化的规律是由薛定谔方程给出的：`i hbar frac{partial}{partial} psi = hat H psi`。（`hat H`叫哈密顿算符）

薛定谔方程可能是物理学中最重要的方程，其地位很类似于牛顿力学中的牛顿第二定律`F=ma`。它们都是描述随时间演化的动力学方程，不同之处在于牛顿第二定律中的加速度是对时间的二阶微商，因此需要知道初始时刻的位置`x_0`和速度`v_0`才可求解，而薛定谔方程中出现的是对时间的一阶微商，因此只需要知道`psi(t_0)`就可确定`psi(t)`。牛顿第二定律和薛定谔方程都是确定性的方程，一旦初始条件确定了，未来的演化是唯一确定的，所不同的是牛顿力学中求得是轨迹，而量子力学中求出的是波函数。轨迹代表了真实的物理运动，而波函数则是一个复函数并不对应任何实际物理量。

但我们又说波函数中已经包含了物理系统所有信息，因此我们关心的物理量（也称观测量或力学量）可通过特定的数学步骤由波函数导出，当然并非所有经典力学中可获得的信息在量子力学中也可获得。比如：我们在量子力学中无法同时获得一个粒子的位置和动量的取值，但在经典力学中我们是可以获得的。

考虑最简单的波函数--单色平面波--`psi = C e^{i(kx - omega t)}`。波函数在任意x的取值是复数，并不对应具体物理量，但其绝对值`rho(x) = psi^{text(*)} psi`表示粒子处在x位置的概率。因此我们虽然无法由`psi`预测x的具体取值，但可计算x的平均值（期望值）：`bar x = int psi^{text(*)} x psi dx = int x rho(x) dx`。

我们可以把这样的数学步骤推广为：`bar A = int psi^{text(*)} hat A psi dx`，这里`bar A`表示力学量A的期望值，`hat A`叫做算符。算符是某种抽象的数学操作，它可把一个波函数映射为另外一个波函数，即：`varphi = hat A psi`。

可见：`hat x = x`，但并非都这样简单。比如对动量p，我们知道单色平面波对应的动量是`p = hbar k`，只有一个确定的取值。如果：`hat p = frac{hbar}{i} frac{partial}{partial x}`，可以验证：`bar p = hbar k`。

现在我们已经能够写出：`hat x`和`hat p`，我们可计算它们的对易关系：`[hat x, hat p] = hat x hat p - hat p hat x= i hbar`，这是个简化的写法，补充完整的形式是：`[hat x, hat p] psi(x) = hat x hat p psi(x) - hat p hat x psi(x) = i hbar psi(x)`。由这个关系我们可以严格地推导出不确定关系，或测不准原理，即如果两个算符不对易--`[hat A, hat B] ne 0`，我们无法同时无限精确地测量力学量A和B，这种不可能是量子力学理论体系决定的，而非操作的不可能。

由`hat x`和`hat p`我们可写出哈密顿算符`hat H`。哈密顿算符是由经典力学中哈密顿量得出的，单粒子的哈密顿量可写为：`H(x, p) = T + V`，T表示动能，V是势能。多粒子哈密顿量可形式地推广为：`H(q,p) = T + V = Sigma_i p dotq - L`（L是经典力学中拉格朗日量，其定义为：`L = T-V`），这里的q表示广义坐标，可以是粒子的位置，也可以是刚体转动的角度等，p表示广义动量，可定义为：` p = frac{partial L}{partial dotq}`。在经典力学中我们常常使用哈密顿量来描述一个物理系统，这种数学形式甚至可以推广为无穷多自由度（无穷多独立的广义坐标）的系统，比如用于描述电磁场。

我们只需把经典的`H(q,p)`中的q，p分别用算符`hat q`, `hat p`--满足`[hat x, hat p] = i hbar`--予以替代，同时保证`hat H(hat q, hat p)`满足厄密性--`int (hat H varphi)^{text(*)} psi dx = int varphi^{text(*)} hat H psi dx`。我们即得到系统的哈密顿算符，这样一个经典描述就变为对应的量子描述。

我们现在来求解最简单的薛定谔方程--`i hbar frac{partial}{partial t} psi(x,t) = frac{hat p^2}{2m} psi(x,t)`。对应哈密顿算符为--`hat H = frac{hat p^2}{2m}`，只有动能，没有势能，即自由粒子。解出：`E = hbar omega = frac{hbar^2 k^2}{2m}`，即能量是连续的，这与经典情形是一致的。

稍微复杂一点的问题--一维无限深势井。先考虑经典情形，相当于粒子在井内自由地运动，在井壁发生完全弹性碰撞，能量是连续的。如果考虑量子的情形：

1.波函数在井外出现概率为0，即井外波函数为0；
2.波函数在井壁处应当是连续的，即井壁处波函数亦为0；
3.波函数在井内，相当于是自由粒子的波函数，即：`E = frac{hbar^2 k^2}{2m} \approx frac{1}{lambda^2}`；

即能量与井内波函数对应的波长有关，而波长的取值由于必须满足条件2（井壁处波函数为0）而有所限制，即只能取为：`2L = n lambda`，这里L表示势井宽度。因此：`E \approx n^2`，即能量取值不再连续，而是分立的。

一个量子力学系统的能量分布可能是连续的（连续谱），也可能是分立的（分立谱），也可能是连续与分立混合的（混合谱）。