我们可以计算`hat L`各分量`hat L_x`, `hat L_y`, `hat L_z`间的对易关系，并得到如下性质：
`[hat L_x, hat L_y] = i hbar hat L_z`, `[hat L_y, hat L_z] = i hbar hat L_x`, `[hat L_z, hat L_x] = i hbar hat L_y`
`[hat L_x, hat L^2] = [hat L_y, hat L^2] = [hat L_z, hat L^2] = 0`
根据不确定关系（测不准原理），我们无法同时精确获得`L_x`, `L_y`的测量值，但我们可同时获得`L_z`和`L^2`的测量值。因此我们预期可求解出以下方程：
`hat L^2 |lambda, mu:) = lambda |lambda, mu:)`
`hat L_z |lambda, mu:) = mu |lambda, mu:)`
对这种形式方程的求解在数学上叫做本征值问题，可以通过求解偏微分方程得出，其结果是：
`hat L^2 |l, m:) = l(l+1)hbar^2 |l, m:)`
`hat L_z |l, m:) = m hbar |l, m:)`
这里：`m=0, pm 1, pm 2, ... pm l`, `l = 0, 1, 2, ...`。即角动量量子数`l`只能取整数。
我们还可以通过角动量算符的对易关系求解这个本征值问题，形式上得出相同的结果，但我们发现这样计算出的结果对`l`的要求可以是半奇数，即：`1/2, 3/2, ...`。
角动量量子数为整数的情形，我们可以用经典角动量的图像来理解，如行星围绕太阳运动，行星具有轨道角动量。但对于角动量量子数为半奇数情形，我们无法还原为经典角动量的图像。但我们发现有一种新的物理现象，必须使用角动量量子数为`1/2`的理论来解释，这就是自旋。
斯特恩-盖拉赫实验
通常我们是通过斯特恩-盖拉赫实验来引入自旋概念的。斯特恩-盖拉赫实验使用的是银原子（Ag），银原子的电子结构是：2, 8, 18, 18, 1（[Kr] 4d10 5s1）。最外层是5s1，即一个5s电子，除去最外层电子外，其他为满壳层。相比较于电子的磁矩，原子的磁矩可以忽略不计。
因此只需考虑电子运动导致的磁矩，而除最外层5s电子外，其他电子轨道角动量、自旋角动量恰好完全抵消。又s电子轨道角动量为零，因此银原子磁矩近似而言主要是由5s电子的自旋导致。
斯特恩和盖拉赫使一束银原子通过非均匀的磁场，发现银原子分裂为两束。磁矩在非均匀磁场中的受力：
`F_z = \mu_z \frac{dB_z}{dz}`
说明磁矩有两种取值，当时人们并没有自旋的概念，根据轨道角动量的理论，轨道角动量（L）的取值只能是整数，如：0，1，2...，`L_z`的取值则有2L+1种可能性，即由-L, -L+1, ..., L-1, L。因此轨道角动量概念只能解释奇数条条纹分裂，而无法解释偶数条条纹分裂。解决方案是引入电子自旋(s)，自旋取值为1/2，`s_z`取值为- 1/2，1/2。
自旋是一个无经典对应的物理量，通常人们会把自旋理解为电子自身的转动，但这种图像是不成立的，理由可归纳如下：
1.迄今为止的实验，未发现电子有尺寸的下限，即电子是没有大小的；
2.如果把电子自旋考虑为刚体绕自身的转动的话，即假设自旋是某种经典的对应，我们解出的角动量量子数只能是整数，因此无法解释偶数条条纹；
3.如果把电子自旋设想为有限大小均匀分布电荷球围绕自身的转动的话，电荷球表面切线速度将超过光速，与相对论矛盾；
因此自旋导致的物理现象是纯粹的量子力学效应，讨论自旋可以最“干净”地引入量子概念，因为自旋无经典对应，我们也就不会受到经典图像的干扰。
连续的斯特恩-盖拉赫实验
由于非均匀磁场可将不同自旋取值的银原子束分开，因此斯特恩-盖拉赫实验装置可看作是自旋的过滤器，比如沿z方向的非均匀磁场可将`s_z= 1/2`和`s_z=-1/2`的自旋分开，同样沿x方向的非均匀磁场可将`s_x=1/2`和`s_x=-1/2`的自旋分开等等。
上图表示将`s_z=1/2`的自旋束过滤出来，如果连续通过两个这样的装置，仍有`s_z=1/2`的自旋束射出。
先过滤出`s_z=1/2`的自旋束，再试图过滤出`s_z=-1/2`的自旋束，最终无自旋束射出。
`s_z=1/2`的自旋束通过x方向非均匀磁场可将`s_x=1/2`的自旋束选择出来。
`s_z=1/2`的自旋束通过x方向非均匀磁场将`s_x=1/2`的自旋束选择出来，再通过z方向非均匀磁场，可将`s_z=-1/2`的自旋束选择出来。
连续的斯特恩-盖拉赫实验说明，`s_z`取值和`s_x`取值无法同时确定，而在经典力学中我们总可以同时确定`L_z`和`L_x`的取值，或x与p的取值。这正是量子力学区别于经典力学的本质特征，或者体现为海森堡不确定关系，或者体现为狄拉克的非对易代数。
与偏振现象的类比
我们无法通过同时指定`s_z`，`s_x`的取值来描述自旋的态，但我们可类比光学中的偏振现象来达到对自旋态的描述。
在光学中有x偏振光，y偏振光，x，y是相互垂直的偏振方向。如果我们把x方向逆时针转动45度，则得到x'偏振光，再继续转动90度，则得到y'偏振光。
这里x偏振光类比为`s_z=1/2`的自旋态，y偏振光类比为`s_z=-1/2`的自选态；x'偏振光类比为`s_x=1/2`的自旋态，y'偏振光类比为`s_x=-1/2`的自旋态。
沿z方向传播的x，y偏振光；
`E=E_0 \hat x e^{kz-\omega t}`
`E=E_0 \hat y e^{kz-\omega t}`
沿z方向传播的x'，y'偏振光；
`E=E_0 \hat x^' e^{kz-\omega t}=\frac{E_0 }{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(\hat x + \hat y))`
`E=E_0 \hat y^' e^{kz-\omega t}=\frac{E_0 }{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(-\hat x + \hat y))`
因此自旋态可表示为：
`| s_z=1/2 \rangle = | + \rangle`
`| s_z=-1/2 \rangle = | - \rangle`
`| s_x=1/2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(| + :) + | - :) )`
`| s_x=-1/2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(-| + :) + | - :) )`
由于非均匀磁场还可加在空间的y方向上，所以尚需求出`|s_y=1/2 \rangle`和`|s_y=-1/2 \rangle`的表达式。可通过与圆偏振光类比得到。
右旋圆偏振光：`E= \frac{E_0}{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(\hat x + i \hat y)`
左旋圆偏振光：`E= \frac{E_0}{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(\hat x - i \hat y)`
因此可将`|s_y = \pm 1/2 \rangle`表示为：
`|s_y = \pm 1/2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+:) \pm i | - :) )`
此即s=1/2，在sz表象中各自旋态的表达。即表示为2维复线性向量空间(complex vector space)中的一个矢量。
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