斯特恩-盖拉赫实验

Stern-Gerlach experiment

斯特恩-盖拉赫实验使用的是银原子（Ag），银原子的电子结构是：2, 8, 18, 18, 1（[Kr] 4d¹⁰ 5s¹）。最外层是5s1，即一个5s电子，除去最外层电子外，其他为满壳层。相比较于电子的磁矩，原子的磁矩可以忽略不计。

因此只需考虑电子运动导致的磁矩，而除最外层5s电子外，其他电子轨道角动量、自旋角动量恰好完全抵消。又s电子轨道角动量为零，因此银原子磁矩近似而言主要是由5s电子的自旋导致。

斯特恩和盖拉赫使一束银原子通过非均匀的磁场，发现银原子分裂为两束。磁矩在非均匀磁场中的受力：

`F_z = \mu_z \frac{dB_z}{dz}`

说明磁矩有两种取值，当时人们并没有自旋的 概念，根据轨道角动量的理论，轨道角动量（L）的取值只能是整数，如：0，1，2...，`L_z`的取值则有2L+1种可能性，即由-L, -L+1, ..., L-1, L。因此轨道角动量概念只能解释奇数条条纹分裂，而无法解释偶数条条纹分裂。解决方案是引入电子自旋(s)，自旋取值为1/2，`s_z`取值为- 1/2，1/2，因此可解释偶数条条纹。

自旋是一个无经典对应的物理量，自旋导致的物理现象是纯粹的量子力学效应，因此自旋及斯特恩-盖拉赫实验常常被用作引入和讨论量子力学的范例。

连续的斯特恩-盖拉赫实验

由于非均匀磁场可将不同自旋取值的银原子束分开，因此斯特恩-盖拉赫实验装置可看作是自旋的过滤器，比如沿z方向的非均匀磁场可将`s_z= 1/2`和`s_z=-1/2`的自旋分开，同样沿x方向的非均匀磁场可将`s_x=1/2`和`s_x=-1/2`的自旋分开等等。

上图表示将`s_z=1/2`的自旋束过滤出来，如果连续通过两个这样的装置，仍有`s_z=1/2`的自旋束射出。

先过滤出`s_z=1/2`的自旋束，再试图过滤出`s_z=-1/2`的自旋束，最终无自旋束射出。

`s_z=1/2`的自旋束通过x方向非均匀磁场可将`s_x=1/2`的自旋束选择出来。

`s_z=1/2`的自旋束通过x方向非均匀磁场将`s_x=1/2`的自旋束选择出来，再通过z方向非均匀磁场，可将`s_z=-1/2`的自旋束选择出来。

连续的斯特恩-盖拉赫实验说明，`s_z`取值和`s_x`取值无法同时确定，而在经典力学中我们总可以同时确定`L_z`和`L_x`的取值，或x与p的取值。这正是量子力学区别于经典力学的本质特征，或者体现为海森堡不确定关系，或者体现为狄拉克的非对易代数。

与偏振现象的类比

我们无法通过同时指定`s_z`，`s_x`的取值来描述自旋的态，但我们可类比光学中的偏振现象来达到对自旋态的描述。

在光学中有x偏振光，y偏振光，x，y是相互垂直的偏振方向。如果我们把x方向逆时针转动45度，则得到x'偏振光，再继续转动90度，则得到y'偏振光。

这里x偏振光类比为`s_z=1/2`的自旋态，y偏振光类比为`s_z=-1/2`的自选态；x'偏振光类比为`s_x=1/2`的自旋态，y'偏振光类比为`s_x=-1/2`的自旋态。

沿z方向传播的x，y偏振光；

`E=E_0 \hat x e^{kz-\omega t}`

`E=E_0 \hat y e^{kz-\omega t}`

沿x方向传播的x'，y'偏振光；

`E=E_0 \hat x^' e^{kz-\omega t}=\frac{E_0 }{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(\hat x + \hat y))`

`E=E_0 \hat y^' e^{kz-\omega t}=\frac{E_0 }{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(-\hat x + \hat y))`

因此自旋态可表示为：

`| s_z=1/2 \rangle = | + \rangle`

`| s_z=-1/2 \rangle = | - \rangle`

`| s_x=1/2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(| + > + | - >)`

`| s_x=-1/2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(-| + > + | - >)`

由于非均匀磁场还可加在空间的y方向上，所以尚需求出`|s_y=1/2 \rangle`和`|s_y=-1/2 \rangle`的表达式。可通过与圆偏振光类比得到。

右旋圆偏振光：`E= \frac{E_0}{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(\hat x + i \hat y)`

左旋圆偏振光：`E= \frac{E_0}{\sqrt{2}}e^{kz-\omega t}(\hat x - i \hat y)`

因此可将`|s_y = \pm 1/2 \rangle`表示为：

`|s_y = \pm 1/2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+> \pm i | - > )`

此即s=1/2，在sz表象中各自旋态的表达。即表示为2维复线性向量空间(complex vector space)中的一个矢量。

参考

1. J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, pp2
2. The Stern-Gerlach Experiment, Electron Spin, and Correlation Experiments
3. Stern and Gerlach: How a Bad Cigar Helped Reorient Atomic Physics
4. Answers: Stern-Gerlach experiment